수학에서, 오일러의 공식(Euler's formula)은 다음 공식을 가리킨다.
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
이는 간단히
\theta에 대한
\mathrm{cis}(\theta)로 나타내기도 한다. 오일러의 공식은
지수함수와
삼각함수를 연결하는 중요한 공식이며, 특히 위 공식에서
\theta=\pi를 대입하면
오일러 등식 e^{i\pi}=-1을 얻는다.
목차
1. 식의 유도
2. 영상1. 식의 유도 ✎
e^x, \sin x, \cos x를 매클로린 급수로 전개하면
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdot\sin x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdot\cdot\cdot\cos x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdot\cdot\cdot
이므로
-i \sin ix = x + \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdot\cdot\cdot\cos ix=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdot\cdot\cdot\therefore\cos ix - i \sin ix = e^x
이다.
x대신
ix를 대입하면
e^{ix}=\cos x + i\sin x\therefore e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta
